一、几何题解析
1. 直角三角形的性质与应用
例题：在直角三角形ABC中，∠C是直角，∠A=30°，AB=10cm，求BC和AC的长度。
解析：
- 首先，根据直角三角形的性质，我们知道在30°-60°-90°的直角三角形中，斜边是最长边，且斜边是30°角所对边的两倍。
- 因此，AB作为斜边，BC作为30°角所对的边，AC作为60°角所对的边，有BC = AB/2 = 10cm/2 = 5cm，AC = AB√3/2 = 10cm√3/2。
- 所以，BC的长度是5cm，AC的长度是10cm√3/2。
2. 相似三角形的判定与应用
例题：在三角形ABC和三角形DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，求证：三角形ABC与三角形DEF相似。
解析：
- 根据相似三角形的判定条件，如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。
- 由题意，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，满足两角对应相等的条件。
- 因此，可以得出三角形ABC与三角形DEF相似。
二、代数题解析
1. 一元二次方程的解法
例题：解方程：x² - 5x + 6 = 0。
解析：
- 这是一个标准的一元二次方程，可以通过因式分解来解。
- 方程可以因式分解为：(x - 2)(x - 3) = 0。
- 因此，x - 2 = 0 或 x - 3 = 0，解得x₁ = 2，x₂ = 3。
2. 函数与图像
例题：已知函数f(x) = x² - 4x + 3，求该函数的图像。
解析：
- 这是一个二次函数，其标准形式为f(x) = ax² + bx + c。
- 该函数的图像是一个开口向上的抛物线。
- 为了找到抛物线的顶点，可以使用公式x = -b/(2a)来找到x坐标，即x = -(-4)/(2*1) = 2。
- 将x = 2代入函数中，得到y = 2² - 4*2 + 3 = -1，所以顶点坐标为(2, -1)。
- 通过这些信息，可以绘制出函数的图像。
三、应用题解析
1. 利润问题
例题：某商店以每件100元的价格购进一批商品，如果按每件120元的价格出售，可以盈利20%。问商店购进了多少件商品？
解析：
- 首先，计算每件商品的盈利金额，盈利率为20%，所以盈利金额为100元 * 20% = 20元。
- 每件商品的售价为100元 + 20元 = 120元。
- 如果每件商品以120元的价格出售，那么商店的利润是20元。
- 要计算购进了多少件商品，可以将总利润除以每件商品的利润，即总件数 = 总利润 / 每件商品的利润。
- 由于题目没有给出总利润，无法直接计算总件数，但可以通过题目信息推断出购进的件数。
这些例题只是初三数学中的一部分，但它们涵盖了初三数学中的关键知识点和题型。通过这些例题的解析，可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，为中考做好准备。