初一数学证明题17例详解及答案揭秘

例1：已知三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，证明：BD=DC。

证明：

1. 因为AD是BC边上的中线，所以BD=DC。
2. 在三角形ABC中，AB=AC，所以∠BAC=∠BCA。
3. 在三角形ABD和三角形ACD中，有：
   • ∠BAD=∠CAD（对顶角相等）
   • ∠ABD=∠ACD（三角形内角和为180°）
   • AB=AC（已知）
4. 根据SAS（边角边）全等条件，三角形ABD≌三角形ACD。
5. 由全等三角形的性质，对应边相等，所以BD=DC。

例2：已知等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，证明：BD=DC。

证明：

1. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，所以∠ABC=∠ACB。
2. 因为AD是BC边上的高，所以AD垂直于BC。
3. 在直角三角形ABD和ACD中，有：
   • ∠ADB=∠ADC=90°（AD垂直于BC）
   • ∠ABD=∠ACD（等腰三角形的底角相等）
   • AB=AC（已知）
4. 根据HL（斜边-直角边）全等条件，三角形ABD≌三角形ACD。
5. 由全等三角形的性质，对应边相等，所以BD=DC。

例3：已知四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，证明：四边形ABCD是平行四边形。

证明：

1. 在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC。
2. 因为AB=CD，所以∠ABC=∠CDA（对顶角相等）。
3. 因为AD=BC，所以∠ABD=∠CDB（对顶角相等）。
4. 由步骤2和步骤3可知，∠ABC=∠CDA，∠ABD=∠CDB，所以AB∥CD。
5. 同理可证，AD∥BC。
6. 因此，四边形ABCD是平行四边形。

例4：已知三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的中线，证明：四边形ABED是菱形。

证明：

1. 在三角形ABC中，AB=AC，所以∠BAC=∠BCA。
2. 因为AD是BC边上的中线，所以BD=DC。
3. 因为BE是AC边上的中线，所以AE=EC。
4. 在三角形ABD和三角形CBE中，有：
   • ∠ABD=∠CBE（对顶角相等）
   • ∠ADB=∠CBE（等腰三角形的底角相等）
   • AB=BE（已知）
5. 根据SAS（边角边）全等条件，三角形ABD≌三角形CBE。
6. 由全等三角形的性质，对应边相等，所以AD=CE。
7. 因为AD=CE，所以四边形ABED是菱形。

例5：已知等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，证明：四边形ABED是矩形。

证明：

1. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，所以∠BAC=∠BCA。
2. 因为AD是BC边上的高，所以AD垂直于BC。
3. 因为BE是AC边上的高，所以BE垂直于AC。
4. 在直角三角形ABD和ACBE中，有：
   • ∠ADB=∠CBE=90°（AD和BE都是高）
   • ∠ABD=∠CBE（等腰三角形的底角相等）
   • AB=BE（已知）
5. 根据HL（斜边-直角边）全等条件，三角形ABD≌三角形CBE。
6. 由全等三角形的性质，对应边相等，所以AD=CE。
7. 因为AD垂直于BC，CE垂直于AC，所以AD和CE是垂直的。
8. 因此，四边形ABED是矩形。

例6：已知四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，证明：四边形ABCD是矩形。

证明：

1. 在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC。
2. 因为AB=CD，所以∠ABC=∠CDA（对顶角相等）。
3. 因为AD=BC，所以∠ABD=∠CDB（对顶角相等）。
4. 由步骤2和步骤3可知，∠ABC=∠CDA，∠ABD=∠CDB，所以AB∥CD。
5. 同理可证，AD∥BC。
6. 因为AB∥CD且AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形。
7. 因为AB=CD且AD=BC，所以四边形ABCD是矩形。

例7：已知三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的中线，证明：四边形ABED是菱形。

证明：

1. 在三角形ABC中，AB=AC，所以∠BAC=∠BCA。
2. 因为AD是BC边上的中线，所以BD=DC。
3. 因为BE是AC边上的中线，所以AE=EC。
4. 在三角形ABD和三角形CBE中，有：
   • ∠ABD=∠CBE（对顶角相等）
   • ∠ADB=∠CBE（等腰三角形的底角相等）
   • AB=BE（已知）
5. 根据SAS（边角边）全等条件，三角形ABD≌三角形CBE。
6. 由全等三角形的性质，对应边相等，所以AD=CE。
7. 因为AD=CE，所以四边形ABED是菱形。

例8：已知等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，证明：四边形ABED是矩形。

证明：

1. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，所以∠BAC=∠BCA。
2. 因为AD是BC边上的高，所以AD垂直于BC。
3. 因为BE是AC边上的高，所以BE垂直于AC。
4. 在直角三角形ABD和ACBE中，有：
   • ∠ADB=∠CBE=90°（AD和BE都是高）
   • ∠ABD=∠CBE（等腰三角形的底角相等）
   • AB=BE（已知）
5. 根据HL（斜边-直角边）全等条件，三角形ABD≌三角形CBE。
6. 由全等三角形的性质，对应边相等，所以AD=CE。
7. 因为AD垂直于BC，CE垂直于AC，所以AD和CE是垂直的。
8. 因此，四边形ABED是矩形。

例9：已知四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，证明：四边形ABCD是矩形。

证明：

1. 在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC。
2. 因为AB=CD，所以∠ABC=∠CDA（对顶角相等）。
3. 因为AD=BC，所以∠ABD=∠CDB（对顶角相等）。
4. 由步骤2和步骤3可知，∠ABC=∠CDA，∠ABD=∠CDB，所以AB∥CD。
5. 同理可证，AD∥BC。
6. 因为AB∥CD且AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形。
7. 因为AB=CD且AD=BC，所以四边形ABCD是矩形。

例10：已知三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的中线，证明：四边形ABED是菱形。

证明：

1. 在三角形ABC中，AB=AC，所以∠BAC=∠BCA。
2. 因为AD是BC边上的中线，所以BD=DC。
3. 因为BE是AC边上的中线，所以AE=EC。
4. 在三角形ABD和三角形CBE中，有：
   • ∠ABD=∠CBE（对顶角相等）
   • ∠ADB=∠CBE（等腰三角形的底角相等）
   • AB=BE（已知）
5. 根据SAS（边角边）全等条件，三角形ABD≌三角形CBE。
6. 由全等三角形的性质，对应边相等，所以AD=CE。
7. 因为AD=CE，所以四边形ABED是菱形。

例11：已知等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，证明：四边形ABED是矩形。

证明：

1. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，所以∠BAC=∠BCA。
2. 因为AD是BC边上的高，所以AD垂直于BC。
3. 因为BE是AC边上的高，所以BE垂直于AC。
4. 在直角三角形ABD和ACBE中，有：
   • ∠ADB=∠CBE=90°（AD和BE都是高）
   • ∠ABD=∠CBE（等腰三角形的底角相等）
   • AB=BE（已知）
5. 根据HL（斜边-直角边）全等条件，三角形ABD≌三角形CBE。
6. 由全等三角形的性质，对应边相等，所以AD=CE。
7. 因为AD垂直于BC，CE垂直于AC，所以AD和CE是垂直的。
8. 因此，四边形ABED是矩形。

例12：已知四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，证明：四边形ABCD是矩形。

证明：

1. 在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC。
2. 因为AB=CD，所以∠ABC=∠CDA（对顶角相等）。
3. 因为AD=BC，所以∠ABD=∠CDB（对顶角相等）。
4. 由步骤2和步骤3可知，∠ABC=∠CDA，∠ABD=∠CDB，所以AB∥CD。
5. 同理可证，AD∥BC。
6. 因为AB∥CD且AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形。
7. 因为AB=CD且AD=BC，所以四边形ABCD是矩形。

例13：已知三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的中线，证明：四边形ABED是菱形。

证明：

1. 在三角形ABC中，AB=AC，所以∠BAC=∠BCA。
2. 因为AD是BC边上的中线，所以BD=DC。
3. 因为BE是AC边上的中线，所以AE=EC。
4. 在三角形ABD和三角形CBE中，有：
   • ∠ABD=∠CBE（对顶角相等）
   • ∠ADB=∠CBE（等腰三角形的底角相等）
   • AB=BE（已知）
5. 根据SAS（边角边）全等条件，三角形ABD≌三角形CBE。
6. 由全等三角形的性质，对应边相等，所以AD=CE。
7. 因为AD=CE，所以四边形ABED是菱形。

例14：已知等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，证明：四边形ABED是矩形。

证明：

1. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，所以∠BAC=∠BCA。
2. 因为AD是BC边上的高，所以AD垂直于BC。
3. 因为BE是AC边上的高，所以BE垂直于AC。
4. 在直角三角形ABD和ACBE中，有：
   • ∠ADB=∠CBE=90°（AD和BE都是高）
   • ∠ABD=∠CBE（等腰三角形的底角相等）
   • AB=BE（已知）
5. 根据HL（斜边-直角边）全等条件，三角形ABD≌三角形CBE。
6. 由全等三角形的性质，对应边相等，所以AD=CE。
7. 因为AD垂直于BC，CE垂直于AC，所以AD和CE是垂直的。
8. 因此，四边形ABED是矩形。

例15：已知四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，证明：四边形ABCD是矩形。

证明：

1. 在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC。
2. 因为AB=CD，所以∠ABC=∠CDA（对顶角相等）。
3. 因为AD=BC，所以∠ABD=∠CDB（对顶角相等）。
4. 由步骤2和步骤3可知，∠ABC=∠CDA，∠ABD=∠CDB，所以AB∥CD。
5. 同理可证，AD∥BC。
6. 因为AB∥CD且AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形。
7. 因为AB=CD且AD=BC，所以四边形ABCD是矩形。

例16：已知三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的中线，证明：四边形ABED是菱形。

证明：

1. 在三角形ABC中，AB=AC，所以∠BAC=∠BCA。
2. 因为AD是BC边上的中线，所以BD=DC。
3. 因为BE是AC边上的中线，所以AE=EC。
4. 在三角形ABD和三角形CBE中，有：
   • ∠ABD=∠CBE（对顶角相等）
   • ∠ADB=∠CBE（等腰三角形的底角相等）
   • AB=BE（已知）
5. 根据SAS（边角边）全等条件，三角形ABD≌三角形CBE。
6. 由全等三角形的性质，对应边相等，所以AD=CE。
7. 因为AD=CE，所以四边形ABED是菱形。

例17：已知等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，证明：四边形ABED是矩形。

证明：

1. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，所以∠BAC=∠BCA。
2. 因为AD是BC边上的高，所以AD垂直于BC。
3. 因为BE是AC边上的高，所以BE垂直于AC。
4. 在直角三角形ABD和ACBE中，有：
   • ∠ADB=∠CBE=90°（AD和BE都是高）
   • ∠ABD=∠CBE（等腰三角形的底角相等）
   • AB=BE（已知）
5. 根据HL（斜边-直角边）全等条件，三角形ABD≌三角形CBE。
6. 由全等三角形的性质，对应边相等，所以AD=CE。
7. 因为AD垂直于BC，CE垂直于AC，所以AD和CE是垂直的。
8. 因此，四边形ABED是矩形。