1. 难题一：几何问题
题目：在一个等边三角形ABC中，点D是边AB上的一点，使得AD=2BD。如果三角形ABC的周长是24厘米，求三角形ABD的面积。
解答： 首先，因为三角形ABC是等边三角形，所以AB=BC=CA。设AB的长度为x厘米，那么周长为3x=24厘米，得到x=8厘米。
因为AD=2BD，所以BD=x/3=8/3厘米，AD=2x/3=16/3厘米。
接下来，我们需要计算三角形ABD的面积。由于我们知道AD和BD的长度，我们可以使用海伦公式来计算三角形ABD的面积。
设s为半周长，即s=(AD+BD+AB)/2=(16⁄3+8⁄3+8)/2=12厘米。
根据海伦公式，三角形ABD的面积S可以表示为： [ S = \sqrt{s(s-AD)(s-BD)(s-AB)} ] [ S = \sqrt{12(12-16⁄3)(12-8⁄3)(12-8)} ] [ S = \sqrt{12 \times 4 \times 16 \times 4} ] [ S = \sqrt{12 \times 256} ] [ S = 64 \times \sqrt{3} ] [ S \approx 111.8 \text{平方厘米} ]
所以，三角形ABD的面积大约是111.8平方厘米。
2. 难题二：代数问题
题目：已知方程x^2 - 5x + 6 = 0，求方程x^3 - 3x^2 + 4x - 12的解。
解答： 首先，我们需要解方程x^2 - 5x + 6 = 0。这是一个二次方程，我们可以使用因式分解来解它。
[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 ]
因此，方程的解是x=2和x=3。
现在，我们要解方程x^3 - 3x^2 + 4x - 12。注意到这个方程可以被x^2 - 5x + 6整除，我们可以尝试将x^3 - 3x^2 + 4x - 12表示为(x^2 - 5x + 6)乘以另一个多项式。
设y = x^3 - 3x^2 + 4x - 12，那么： [ y = (x^2 - 5x + 6)(x - 2) + 2(x - 3) ] [ y = (x - 2)(x - 3)(x - 2) ] [ y = (x - 2)^2(x - 3) ]
因为x=2是x^2 - 5x + 6的一个解，所以它也是x^3 - 3x^2 + 4x - 12的一个解。另外，由于(x - 2)^2 = 0当x=2时，x=3也是方程的一个解。
因此，方程x^3 - 3x^2 + 4x - 12的解是x=2和x=3。
3. 难题三：应用题
题目：一个长方形的长是宽的2倍，如果长方形的周长是36厘米，求长方形的长和宽。
解答： 设长方形的宽为x厘米，那么长就是2x厘米。
长方形的周长是两倍的长加两倍的宽，即： [ 2(2x) + 2(x) = 36 ] [ 4x + 2x = 36 ] [ 6x = 36 ] [ x = 6 ]
因此，长方形的宽是6厘米，长是2x=12厘米。
所以，长方形的长是12厘米，宽是6厘米。