正文

北理工有限元法考试，这些例题让你轻松应对

/0 浏览量
0622

在北理工的有限元法考试中，掌握正确的解题思路和足够的练习是成功的关键。以下是一些精选的例题解析，帮助同学们在考试中更加游刃有余。

例题一：线性弹性问题的有限元求解

问题描述： 一维杆件，长度为 ( L )，两端固定，在中间施加一个集中载荷 ( F )。求解杆件的位移和应力分布。

解题思路：

  1. 选择单元类型： 选择线性三角形单元，因为它能很好地逼近一维问题的形状。
  2. 单元形状函数： 采用形函数 ( N(x) ) 表示位移，其中 ( x ) 为杆件的轴向位置。
  3. 构建全局刚度矩阵： 通过对单元刚度矩阵进行组装，得到全局刚度矩阵 ( K )。
  4. 求解线性方程组： 解线性方程组 ( K \Delta u = F ) 得到位移向量 ( \Delta u )。

代码示例：

import numpy as np

# 假设的参数
L = 1.0
F = 1.0
N = 4  # 单元数量

# 形函数
def shape_function(x):
    return (1 - x) ** 2, (x - 2 * x ** 2) ** 2, 0

# 计算单元刚度矩阵
def element_stiffness():
    # 这里应计算具体的单元刚度矩阵，根据题设进行填充
    pass

# 组装全局刚度矩阵
K_global = np.zeros((N * 2, N * 2))
for i in range(N):
    K_elem = element_stiffness()
    K_global[2 * i:2 * i + 2, 2 * i:2 * i + 2] = K_elem

# 线性方程组求解
delta_u = np.linalg.solve(K_global, F)

print("位移：", delta_u)

例题二：平面问题的位移场分析

问题描述： 在一个平面应力问题中，给定材料的弹性常数 ( E ) 和泊松比 ( \mu )，求解平面内任意点的位移。

解题思路：

  1. 定义边界条件： 确定边界条件和加载情况。
  2. 建立有限元模型： 根据问题几何形状和尺寸，选择合适的单元，建立有限元模型。
  3. 单元位移和应力计算： 利用形函数计算每个节点的位移，并计算应力。
  4. 求解方程组： 利用单元刚度矩阵组装全局刚度矩阵，求解线性方程组。

解题步骤：

  • 定义边界条件和加载情况。
  • 划分网格，确定单元类型和节点编号。
  • 计算每个单元的位移和应力。
  • 组装全局刚度矩阵 ( K ) 和载荷向量 ( F )。
  • 求解线性方程组 ( K \Delta u = F )。

例题三：结构动态分析中的模态分析

问题描述： 对于一个具有特定质量和弹性常数的三维结构，求其自由振动的模态和频率。

解题思路：

  1. 建立有限元模型： 使用三维单元对结构进行建模。
  2. 单元质量矩阵和刚度矩阵： 计算单元质量矩阵 ( M ) 和刚度矩阵 ( K )。
  3. 求解特征值问题： 通过求解 ( KM \phi = \omega^2 M \phi ) 获取结构的自振频率 ( \omega ) 和模态形状 ( \phi )。

代码示例：

# 假设参数
E = 200e9  # 弹性模量
nu = 0.3   # 泊松比
rho = 7800  # 密度

# 单元质量矩阵
def element_mass():
    # 根据具体单元计算质量矩阵
    pass

# 单元刚度矩阵
def element_stiffness():
    # 根据具体单元计算刚度矩阵
    pass

# 组装全局质量矩阵和刚度矩阵
M_global = np.zeros((N ** 3, N ** 3))
K_global = np.zeros((N ** 3, N ** 3))
# 根据网格信息和单元计算进行填充

# 求解特征值问题
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eigh(K_global, M_global)
print("自振频率：", eigenvalues)
print("模态形状：", eigenvectors)

通过以上例题的解析，希望同学们能够在考试中更加得心应手。记住，多加练习是提高解题能力的关键。祝大家考试顺利！

-- 展开阅读全文 --