一、试卷概述
宝安高三数学期末试卷旨在考察学生对高中数学知识的掌握程度，试卷内容涵盖了高中数学的主要知识点，包括函数、三角函数、数列、立体几何、解析几何、概率统计等。以下是对试卷中关键题型的答案解析及解题思路。
二、函数部分
1. 题型一：函数的单调性
题目：已知函数\(f(x) = x^3 - 3x + 2\)，求\(f(x)\)的单调区间。
解析：
首先，求出\(f(x)\)的导数\(f'(x) = 3x^2 - 3\)。令\(f'(x) = 0\)，解得\(x = \pm 1\)。
当\(x < -1\)时，\(f'(x) > 0\)，\(f(x)\)单调递增；
当\(-1 < x < 1\)时，\(f'(x) < 0\)，\(f(x)\)单调递减；
当\(x > 1\)时，\(f'(x) > 0\)，\(f(x)\)单调递增。
因此，\(f(x)\)的单调递增区间为\((-\infty, -1)\)和\((1, +\infty)\)，单调递减区间为\((-1, 1)\)。
2. 题型二：函数的极值
题目：已知函数\(f(x) = x^3 - 3x + 2\)，求\(f(x)\)的极值。
解析：
根据题型一的分析，\(f(x)\)的单调递增区间为\((-\infty, -1)\)和\((1, +\infty)\)，单调递减区间为\((-1, 1)\)。
因此，\(f(x)\)在\(x = -1\)处取得极大值\(f(-1) = 4\)，在\(x = 1\)处取得极小值\(f(1) = 0\)。
三、三角函数部分
1. 题型一：三角函数的图像
题目：已知函数\(f(x) = \sin x + \cos x\)，求\(f(x)\)的图像。
解析：
首先，将\(f(x)\)写成\(f(x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})\)的形式。
因此，\(f(x)\)的图像是一个振幅为\(\sqrt{2}\)，周期为\(2\pi\)的正弦函数图像，向左平移\(\frac{\pi}{4}\)个单位。
2. 题型二：三角函数的值域
题目：已知函数\(f(x) = \sin x + \cos x\)，求\(f(x)\)的值域。
解析：
根据题型一的分析，\(f(x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})\)，因此\(f(x)\)的值域为\([-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\)。
四、数列部分
1. 题型一：数列的通项公式
题目：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n = 2^n - 1\)，求\(a_5\)。
解析：
将\(n = 5\)代入通项公式，得\(a_5 = 2^5 - 1 = 31\)。
2. 题型二：数列的求和
题目：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n = 2^n - 1\)，求\(\sum_{n=1}^{10} a_n\)。
解析：
根据通项公式，\(\sum_{n=1}^{10} a_n = (2^1 - 1) + (2^2 - 1) + \ldots + (2^{10} - 1)\)。
利用等比数列求和公式，得\(\sum_{n=1}^{10} a_n = 2^{11} - 10\)。
五、立体几何部分
1. 题型一：空间几何体的体积
题目：已知长方体的长、宽、高分别为\(2\)、\(3\)、\(4\)，求长方体的体积。
解析：
长方体的体积公式为\(V = l \times w \times h\)，代入长、宽、高，得\(V = 2 \times 3 \times 4 = 24\)。
2. 题型二：空间几何体的表面积
题目：已知正方体的棱长为\(2\)，求正方体的表面积。
解析：
正方体的表面积公式为\(S = 6a^2\)，代入棱长，得\(S = 6 \times 2^2 = 24\)。
六、解析几何部分
1. 题型一：直线与圆的位置关系
题目：已知圆的方程为\(x^2 + y^2 = 1\)，直线方程为\(y = x\)，求圆心到直线的距离。
解析：
圆心到直线的距离公式为\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)，代入圆心坐标\((0, 0)\)和直线方程系数，得\(d = \frac{|0 + 0 + 0|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = 0\)。
因此，圆心到直线的距离为\(0\)，即圆与直线相切。
2. 题型二：椭圆的标准方程
题目：已知椭圆的焦点坐标为\((\pm c, 0)\)，离心率为\(\frac{1}{2}\)，求椭圆的标准方程。
解析：
椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中\(a\)为半长轴，\(b\)为半短轴，\(c\)为焦距。
由离心率公式\(e = \frac{c}{a}\)，代入离心率\(\frac{1}{2}\)，得\(c = \frac{a}{2}\)。
又因为椭圆的焦点坐标为\((\pm c, 0)\)，代入\(c = \frac{a}{2}\)，得椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{4} + y^2 = 1\)。
七、概率统计部分
1. 题型一：随机事件的概率
题目：从一副扑克牌中随机抽取一张牌，求抽到红桃的概率。
解析：
一副扑克牌共有\(52\)张牌，其中红桃牌有\(13\)张。因此，抽到红桃的概率为\(\frac{13}{52} = \frac{1}{4}\)。
2. 题型二：二项分布
题目：某次考试，某同学连续\(5\)次考试及格的概率均为\(0.6\)，求该同学在\(5\)次考试中至少及格\(3\)次的概率。
解析：
根据二项分布公式，\(P(X = k) = C_n^k p^k (1 - p)^{n - k}\)，其中\(C_n^k\)为组合数，\(p\)为每次考试及格的概率，\(n\)为考试次数。
代入题目中的数据，得\(P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = C_5^3 \times 0.6^3 \times 0.4^2 + C_5^4 \times 0.6^4 \times 0.4^1 + C_5^5 \times 0.6^5 \times 0.4^0 = 0.648\)。
因此，该同学在\(5\)次考试中至少及格\(3\)次的概率为\(0.648\)。
八、总结
通过对宝安高三数学期末试卷中关键题型的答案解析及解题思路的讲解，相信同学们对高中数学知识有了更深入的理解。在今后的学习中，希望大家能够不断积累经验，提高自己的数学能力。