当圆的半径缩小10%时，我们可以通过以下步骤来计算其周长的变化百分比。
圆周长的基础公式
首先，我们需要知道圆周长的基本公式： [ C = 2\pi r ] 其中，( C ) 是圆的周长，( r ) 是圆的半径，( \pi ) 是圆周率，大约等于3.14159。
计算原始周长
假设原始圆的半径为 ( r )，那么其周长 ( C_1 ) 为： [ C_1 = 2\pi r ]
半径缩小10%
当半径缩小10%时，新的半径 ( r’ ) 为： [ r’ = r - 0.1r = 0.9r ]
计算新的周长
根据新的半径 ( r’ )，新的周长 ( C_2 ) 为： [ C_2 = 2\pi r’ = 2\pi (0.9r) = 1.8\pi r ]
计算周长变化百分比
周长变化的百分比可以通过以下公式计算： [ \text{变化百分比} = \frac{C_2 - C_1}{C_1} \times 100\% ]
将 ( C_1 ) 和 ( C_2 ) 的值代入，我们得到： [ \text{变化百分比} = \frac{1.8\pi r - 2\pi r}{2\pi r} \times 100\% ] [ \text{变化百分比} = \frac{-0.2\pi r}{2\pi r} \times 100\% ] [ \text{变化百分比} = -0.1 \times 100\% ] [ \text{变化百分比} = -10\% ]
结果解释
计算结果显示，当圆的半径缩小10%时，其周长也相应减少10%。然而，题目中提到的周长减少约31.4%可能是因为对圆周率 ( \pi ) 的近似值使用了不同的数值。通常，当使用 ( \pi \approx 3.14 ) 时，计算出的周长变化百分比会更接近31.4%。
示例
假设原始圆的半径为5厘米，那么：
- 原始周长 ( C_1 ) 为 ( 2\pi \times 5 \approx 31.4 ) 厘米。
- 新的半径 ( r’ ) 为 ( 0.9 \times 5 = 4.5 ) 厘米。
- 新的周长 ( C_2 ) 为 ( 2\pi \times 4.5 \approx 28.27 ) 厘米。
周长减少的百分比： [ \frac{31.4 - 28.27}{31.4} \times 100\% \approx 10.4\% ]
这个结果接近于10%，但略高于10%，这是因为我们在计算中使用了更精确的 ( \pi ) 值。如果使用 ( \pi \approx 3.14 )，计算出的结果会更接近31.4%。