一、代数部分
1. 分式方程
习题1：解分式方程
题目：解方程：\(\frac{2x-3}{x+1} = \frac{1}{x-2}\)
解答： 首先，将分式方程转化为整式方程。为此，找到分母的最小公倍数，即\((x+1)(x-2)\)，然后两边同时乘以这个最小公倍数，得到： $\( (2x-3)(x-2) = x+1 \)$
展开并整理： $\( 2x^2 - 4x - 3x + 6 = x + 1 \)\( \)\( 2x^2 - 7x + 6 = x + 1 \)\( \)\( 2x^2 - 8x + 5 = 0 \)$
使用求根公式解这个二次方程： $\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)\( 其中，\)a = 2\(，\)b = -8\(，\)c = 5$。
计算得到： $\( x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 40}}{4} \)\( \)\( x = \frac{8 \pm \sqrt{24}}{4} \)\( \)\( x = \frac{8 \pm 2\sqrt{6}}{4} \)\( \)\( x = 2 \pm \frac{\sqrt{6}}{2} \)$
所以，方程的解为： $\( x_1 = 2 + \frac{\sqrt{6}}{2}, \quad x_2 = 2 - \frac{\sqrt{6}}{2} \)$
注意： 检查解是否满足原方程的定义域，即分母不为零。
2. 函数与图像
习题2：函数图像
题目：画出函数\(y = -2x^2 + 4x - 1\)的图像。
解答： 这是一个二次函数，其一般形式为\(y = ax^2 + bx + c\)。首先，确定顶点坐标。顶点的\(x\)坐标为\(-\frac{b}{2a}\)，\(y\)坐标为将\(x\)坐标代入函数得到的结果。
对于给定的函数： $\( a = -2, \quad b = 4, \quad c = -1 \)$
顶点的\(x\)坐标为： $\( x = -\frac{4}{2(-2)} = 1 \)$
将\(x = 1\)代入函数得到顶点的\(y\)坐标： $\( y = -2(1)^2 + 4(1) - 1 = 1 \)$
所以，顶点坐标为\((1, 1)\)。
接下来，画出函数的图像，注意函数的开口方向（向下，因为\(a < 0\)），顶点，以及与\(x\)轴的交点。
二、几何部分
1. 相似三角形
习题3：相似三角形
题目：在\(\triangle ABC\)中，\(AB = 6\)，\(AC = 8\)，\(BC = 10\)。在\(\triangle DEF\)中，\(DE = 3\)，\(DF = 4\)，\(EF = 5\)。证明\(\triangle ABC\)与\(\triangle DEF\)相似。
解答： 要证明两个三角形相似，可以使用相似三角形的判定条件之一：两边成比例且夹角相等。
首先，检查\(\triangle ABC\)和\(\triangle DEF\)的边长比例： $\( \frac{AB}{DE} = \frac{6}{3} = 2, \quad \frac{AC}{DF} = \frac{8}{4} = 2, \quad \frac{BC}{EF} = \frac{10}{5} = 2 \)$
可以看到，\(\triangle ABC\)和\(\triangle DEF\)的对应边长成比例。
接下来，检查夹角。由于\(\triangle ABC\)和\(\triangle DEF\)都是直角三角形（因为\(AB^2 + BC^2 = AC^2\)和\(DE^2 + EF^2 = DF^2\)），所以它们的一个角是直角，即\(90^\circ\)。
因此，根据两边成比例且夹角相等的条件，可以得出\(\triangle ABC\)与\(\triangle DEF\)相似。