5道开平方法例题详解，轻松掌握数学解题技巧

在数学学习中，开平方法是一种非常基础且重要的解题技巧。通过以下五个例题的详细解析，我们将帮助你更好地理解和应用开平方法，从而轻松掌握数学解题技巧。

例题一：求解方程 ( x^2 - 4x + 3 = 0 )

解题思路： 这是一个标准的二次方程，我们可以通过开平方法来求解。

解题步骤：

1. 首先，将方程重写为 ( x^2 - 4x = -3 )。
2. 接着，我们需要找到一个数 ( b )，使得 ( (x - b)^2 ) 展开后，中间项 ( -2bx ) 等于 ( -4x )。这里 ( b = 2 )。
3. 将 ( b ) 带入，得到 ( (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 )。
4. 因此，方程变为 ( (x - 2)^2 = 1 )。
5. 开平方得到 ( x - 2 = \pm 1 )。
6. 解得 ( x = 3 ) 或 ( x = 1 )。

答案： ( x = 3 ) 或 ( x = 1 )。

例题二：求解方程 ( 2x^2 - 8x + 6 = 0 )

解题思路： 类似于第一个例题，我们同样使用开平方法。

解题步骤：

1. 重写方程为 ( 2x^2 - 8x = -6 )。
2. 为了开平，我们需要将二次项系数化为1，因此除以2得到 ( x^2 - 4x = -3 )。
3. 找到 ( b = 2 )，使得 ( (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 )。
4. 方程变为 ( (x - 2)^2 = 1 )。
5. 开平方得到 ( x - 2 = \pm 1 )。
6. 解得 ( x = 3 ) 或 ( x = 1 )。

答案： ( x = 3 ) 或 ( x = 1 )。

例题三：求解方程 ( x^2 - 6x + 9 = 0 )

解题思路： 这是一个完全平方的二次方程。

解题步骤：

1. 方程已经是 ( (x - 3)^2 = 0 ) 的形式。
2. 开平方得到 ( x - 3 = 0 )。
3. 解得 ( x = 3 )。

答案： ( x = 3 )。

例题四：求解方程 ( 3x^2 - 12x + 9 = 0 )

解题思路： 同样，我们首先将方程转化为完全平方形式。

解题步骤：

1. 重写方程为 ( 3(x^2 - 4x) + 9 = 0 )。
2. 将 ( x^2 - 4x ) 补全为完全平方，得到 ( 3(x - 2)^2 = 3 )。
3. 方程变为 ( (x - 2)^2 = 1 )。
4. 开平方得到 ( x - 2 = \pm 1 )。
5. 解得 ( x = 3 ) 或 ( x = 1 )。

答案： ( x = 3 ) 或 ( x = 1 )。

例题五：求解方程 ( 4x^2 - 20x + 25 = 0 )

解题思路： 这是一个可以通过开平方法解决的二次方程。

解题步骤：

1. 重写方程为 ( 4(x^2 - 5x) + 25 = 0 )。
2. 将 ( x^2 - 5x ) 补全为完全平方，得到 ( 4(x - \frac{5}{2})^2 = 4 )。
3. 方程变为 ( (x - \frac{5}{2})^2 = 1 )。
4. 开平方得到 ( x - \frac{5}{2} = \pm 1 )。
5. 解得 ( x = 3 ) 或 ( x = 2 )。

答案： ( x = 3 ) 或 ( x = 2 )。

通过这些例题，你可以看到开平方法在解决二次方程中的应用。这种方法的关键在于将方程转化为完全平方的形式，然后通过开平方来求解。希望这些详细的解析能够帮助你更好地理解和掌握开平方法。