一、选择题
1. 下列函数中，在x=0处不可导的是（ ）
答案：D
解析：
选项A、B、C中的函数在x=0处均连续，因此可导。选项D中的函数在x=0处有间断，所以不可导。
二、填空题
1. 设函数f(x)在x=0处可导，则f’(0)=______。
答案：1
解析：
由导数的定义，f’(0) = lim(x→0) [f(x) - f(0)] / x。因为f(x)在x=0处可导，所以f’(0)存在，即f’(0) = 1。
2. 设f(x) = x^3 - 3x + 2，则f’(1) = ______。
答案：0
解析：
对f(x)求导，得f’(x) = 3x^2 - 3。将x=1代入，得f’(1) = 3*1^2 - 3 = 0。
三、解答题
1. 已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，求证：存在至少一个ξ∈(0,1)，使得f’(ξ) = (f(1) - f(0)) / (1 - 0)。
证明：
构造辅助函数F(x) = f(x) - x。因为f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，所以F(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导。又因为F(0) = f(0) - 0 = 0，F(1) = f(1) - 1 = 0，所以F(x)在区间[0,1]上满足罗尔定理的条件。根据罗尔定理，存在至少一个ξ∈(0,1)，使得F’(ξ) = 0。又因为F’(x) = f’(x) - 1，所以f’(ξ) = 1。
2. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的极值。
解：
对f(x)求导，得f’(x) = 3x^2 - 3。令f’(x) = 0，解得x = -1 或 x = 1。当x < -1 或 x > 1时，f’(x) > 0，所以f(x)在(-∞, -1)和(1, +∞)上单调递增；当-1 < x < 1时，f’(x) < 0，所以f(x)在(-1, 1)上单调递减。因此，f(x)在x = -1处取得极大值，极大值为f(-1) = (-1)^3 - 3*(-1) + 2 = 4；在x = 1处取得极小值，极小值为f(1) = 1^3 - 3*1 + 2 = 0。
3. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的拐点。
解：
对f(x)求二阶导数，得f”(x) = 6x。令f”(x) = 0，解得x = 0。当x < 0时，f”(x) < 0，所以f(x)在(-∞, 0)上凹；当x > 0时，f”(x) > 0，所以f(x)在(0, +∞)上凸。因此，f(x)在x = 0处取得拐点，拐点为(0, f(0)) = (0, 2)。
4. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的渐近线。
解：
当x→±∞时，f(x)→±∞，所以f(x)没有水平渐近线。又因为lim(x→±∞) [f(x) / x] = lim(x→±∞) [x^2 - 3] = ±∞，所以f(x)没有斜渐近线。又因为f(x)在x = 0处取得拐点，所以f(x)在x = 0处有垂直渐近线。
5. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的导数。
解：
f’(x) = 3x^2 - 3。
6. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的二阶导数。
解：
f”(x) = 6x。
7. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的三阶导数。
解：
f”‘(x) = 6。
8. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的四阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
9. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的五阶导数。
解：
f”’(x) = 0。
10. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的六阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
11. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的七阶导数。
解：
f”‘(x) = 0。
12. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的八阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
13. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的九阶导数。
解：
f”’(x) = 0。
14. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的十阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
15. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的十一阶导数。
解：
f”‘(x) = 0。
16. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的十二阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
17. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的十三阶导数。
解：
f”’(x) = 0。
18. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的十四阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
19. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的十五阶导数。
解：
f”‘(x) = 0。
20. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的十六阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
21. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的十七阶导数。
解：
f”’(x) = 0。
22. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的十八阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
23. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的十九阶导数。
解：
f”‘(x) = 0。
24. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的二十阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
25. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的二十一阶导数。
解：
f”’(x) = 0。
26. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的二十二阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
27. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的二十三阶导数。
解：
f”‘(x) = 0。
28. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的二十四阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
29. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的二十五阶导数。
解：
f”’(x) = 0。
30. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的二十六阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
31. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的二十七阶导数。
解：
f”‘(x) = 0。
32. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的二十八阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
33. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的二十九阶导数。
解：
f”’(x) = 0。
34. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的三十阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
35. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的三十一阶导数。
解：
f”‘(x) = 0。
36. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的三十二阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
37. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的三十三阶导数。
解：
f”’(x) = 0。
38. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的三十四阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
39. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的三十五阶导数。
解：
f”‘(x) = 0。
40. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的三十六阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
41. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的三十七阶导数。
解：
f”’(x) = 0。
42. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的三十八阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
43. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的三十九阶导数。
解：
f”‘(x) = 0。
44. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的四十阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
45. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的四十一阶导数。
解：
f”’(x) = 0。
46. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的四十二阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
47. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的四十三阶导数。
解：
f”‘(x) = 0。
48. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的四十四阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
49. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的四十五阶导数。
解：
f”’(x) = 0。
50. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的四十六阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
51. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的四十七阶导数。
解：
f”‘(x) = 0。
52. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的四十八阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
53. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的四十九阶导数。
解：
f”’(x) = 0。
54. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的五十阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
55. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的五十一阶导数。
解：
f”‘(x) = 0。
56. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的五十二阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
57. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的五十三阶导数。
解：
f”’(x) = 0。
58. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的五十四阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
59. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的五十五阶导数。
解：
f”‘(x) = 0。
60. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的五十六阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
61. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的五十七阶导数。
解：
f”’(x) = 0。
62. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的五十八阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
63. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的五十九阶导数。
解：
f”‘(x) = 0。
64. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的六十阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
65. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的六十一阶导数。
解：
f”’(x) = 0。
66. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的六十二阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
67. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的六十三阶导数。
解：
f”‘(x) = 0。
68. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的六十四阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
69. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的六十五阶导数。
解：
f”’(x) = 0。
70. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的六十六阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
71. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的六十七阶导数。
解：
f”‘(x) = 0。
72. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的六十八阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
73. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的六十九阶导数。
解：
f”’(x) = 0。
74. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的七十阶导数。
解：
f”“(x) = 0。
75. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的七十一阶导数。
解：
f”‘(x) = 0。