2019浙江高考导数题解析：图像解析与解题技巧详解

一、题目回顾

2019年浙江省高考数学试题中的导数题目如下：

已知函数\(f(x) = x^3 - 3x + 1\)，求：

（1）函数\(f(x)\)的图像在\(x\)轴上的交点个数； （2）函数\(f(x)\)的图像与直线\(y = kx + b\)的交点个数，其中\(k\)和\(b\)为常数。

二、解题思路

1. 图像解析

首先，我们需要对函数\(f(x) = x^3 - 3x + 1\)的图像有一个大致的了解。通过观察函数的导数，我们可以分析函数的增减性、极值点等性质，从而帮助我们更好地理解函数的图像。

2. 解题步骤

（1）求函数\(f(x)\)的图像在\(x\)轴上的交点个数

1. 求导数：\(f'(x) = 3x^2 - 3\)；
2. 求导数的零点：\(f'(x) = 0\)，解得\(x = \pm 1\)；
3. 判断函数的增减性：当\(x < -1\)或\(x > 1\)时，\(f'(x) > 0\)，函数单调递增；当\(-1 < x < 1\)时，\(f'(x) < 0\)，函数单调递减；
4. 求极值点：\(f(-1) = 3\)，\(f(1) = -1\)；
5. 分析函数图像：函数图像在\(x = -1\)处取得极大值3，在\(x = 1\)处取得极小值-1，且\(f(x)\)在\(x\)轴上只有一个交点，即\(x = 1\)。

（2）求函数\(f(x)\)的图像与直线\(y = kx + b\)的交点个数

1. 求导数：\(f'(x) = 3x^2 - 3\)；
2. 求导数的零点：\(f'(x) = 0\)，解得\(x = \pm 1\)；
3. 判断函数的增减性：当\(x < -1\)或\(x > 1\)时，\(f'(x) > 0\)，函数单调递增；当\(-1 < x < 1\)时，\(f'(x) < 0\)，函数单调递减；
4. 求极值点：\(f(-1) = 3\)，\(f(1) = -1\)；
5. 分析函数图像：函数图像在\(x = -1\)处取得极大值3，在\(x = 1\)处取得极小值-1；
6. 判断直线\(y = kx + b\)与函数图像的交点个数：当\(k = 0\)时，直线与函数图像只有一个交点；当\(k \neq 0\)时，直线与函数图像有两个交点。

三、解题技巧

1. 熟练掌握导数的概念和性质，能够快速求出函数的导数；
2. 能够根据导数的正负判断函数的增减性，以及求出函数的极值点；
3. 熟悉函数图像的绘制方法，能够根据函数的性质绘制出函数图像；
4. 能够根据函数图像和直线的性质，判断直线与函数图像的交点个数。

通过以上解析，相信大家对2019年浙江省高考导数题的解题方法有了更深入的了解。在今后的学习中，希望大家能够熟练掌握这些解题技巧，提高自己的数学能力。