一、数一考试概述
2019年数学一考研是中国研究生入学考试中的重要组成部分，主要面向理工科专业。数学一考试内容涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计三个部分。以下是针对这三个部分的真题详解及答案解析。
二、高等数学详解及答案解析
1. 一元函数微分学
题目：求函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1\) 的极值。
解析：首先求导数 \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 4\)，令 \(f'(x) = 0\)，解得 \(x = 1\) 或 \(x = \frac{2}{3}\)。再求二阶导数 \(f''(x) = 6x - 6\)，代入 \(x = 1\) 和 \(x = \frac{2}{3}\)，得 \(f''(1) = 0\)，\(f''(\frac{2}{3}) = 0\)。因此，\(x = 1\) 和 \(x = \frac{2}{3}\) 是驻点。根据驻点的性质，可以判断 \(x = 1\) 是极大值点，\(x = \frac{2}{3}\) 是极小值点。
答案：极大值为 \(f(1) = 1\)，极小值为 \(f(\frac{2}{3}) = -\frac{5}{27}\)。
2. 一元函数积分学
题目：计算定积分 \(\int_0^1 (x^2 - 2x + 1) \, dx\)。
解析：这是一个基本的定积分计算问题。根据定积分的性质，可以直接计算：
\[ \int_0^1 (x^2 - 2x + 1) \, dx = \left[\frac{1}{3}x^3 - x^2 + x\right]_0^1 = \frac{1}{3} - 1 + 1 = \frac{1}{3} \]
答案：\(\frac{1}{3}\)。
三、线性代数详解及答案解析
1. 矩阵运算
题目：设矩阵 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，求 \(A^2\)。
解析：根据矩阵乘法的定义，计算 \(A^2\)：
\[ A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{bmatrix} \]
答案：\(A^2 = \begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{bmatrix}\)。
2. 线性方程组
题目：解线性方程组 \(\begin{cases} x + 2y = 1 \\ 2x + 4y = 2 \end{cases}\)。
解析：将方程组写成增广矩阵的形式，然后进行行变换：
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & | & 1 \\ 2 & 4 & | & 2 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & | & 1 \\ 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix} \]
由于增广矩阵的最后一行全为零，因此方程组有无穷多解。解为 \(x = 1 - 2y\)。
答案：\(x = 1 - 2y\)。
四、概率论与数理统计详解及答案解析
1. 随机变量及其分布
题目：设随机变量 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的泊松分布，求 \(P(X = 2)\)。
解析：泊松分布的概率质量函数为 \(P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\)。代入 \(\lambda = 1\)，得 \(P(X = 2) = \frac{e^{-1} \cdot 1^2}{2!} = \frac{1}{2e}\)。
答案：\(\frac{1}{2e}\)。
2. 参数估计
题目：设总体 \(X\) 服从正态分布 \(N(\mu, \sigma^2)\)，已知样本均值 \(\bar{x} = 10\)，样本方差 \(s^2 = 4\)，求 \(\mu\) 和 \(\sigma\) 的置信区间（置信水平为 \(95\%\)）。
解析：由于样本量较小，使用\(t\)分布进行置信区间估计。首先计算 \(t\) 值，\(t = \frac{\bar{x} - \mu}{s/\sqrt{n}} = \frac{10 - \mu}{2/\sqrt{10}}\)。根据 \(t\) 分布表，当自由度为 \(n-1 = 9\) 时，\(t_{0.025} = 2.262\)。因此，置信区间为：
\[ \mu \in [10 - 2.262 \times 2, 10 + 2.262 \times 2] = [5.486, 14.514] \]
答案：\(\mu \in [5.486, 14.514]\)。