2019年深圳中考数学试卷全解析：难题解答与备考策略

难题解答

在2019年深圳中考数学试卷中，代数部分有一道难题如下：

已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a \neq 0$。若$f(1) = 2$，$f(2) = 5$，且$f(x)$的图像与$x$轴的交点坐标为$(3, 0)$，求$f(x)$的解析式。

解题思路
- 利用已知条件$f(1) = 2$，$f(2) = 5$，列出方程组： $$ \begin{cases} a + b + c = 2 \\ 4a + 2b + c = 5 \end{cases} $$
- 利用图像与$x$轴的交点坐标$(3, 0)$，列出方程： $$ 9a + 3b + c = 0 $$
- 解方程组，得到$a$，$b$，$c$的值。
解题步骤
- 将方程组转化为矩阵形式： $$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 0 \end{bmatrix} $$
- 利用高斯消元法求解： $$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -3 \\ 0 & 6 & -27 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & -\frac{27}{2} \end{bmatrix} $$
- 解得$a = 1$，$b = -\frac{5}{2}$，$c = \frac{3}{2}$。
答案

$f(x) = x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{3}{2}$。

在2019年深圳中考数学试卷中，几何部分有一道难题如下：

在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$BC = 4$，$AD$为$BC$边上的高，且$AD = 3$。求$\triangle ABC$的面积。

解题思路
- 利用勾股定理求解$AB$，$AC$的长度。
- 利用面积公式求解$\triangle ABC$的面积。
解题步骤
- 在$\triangle ABD$中，利用勾股定理求解$AB$： $$ AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13} $$
- 在$\triangle ABC$中，利用面积公式求解面积： $$ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AD = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6 $$
答案

$\triangle ABC$的面积为$6$。