第一部分：题目回顾
在2018年的骄子之路数学竞赛中，一道难度较高的题目引起了广泛关注。这道题目如下：
“在一个平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,3)，点B的坐标为(-1,1)。点P在直线y=x上，且AP与BP的斜率之和为2。求点P的坐标。”
第二部分：解题思路
1. 确定斜率之和的表达式
首先，我们需要找到AP和BP斜率之和的表达式。根据斜率的定义，AP的斜率k1可以表示为：
[ k1 = \frac{y2 - y1}{x2 - x1} = \frac{1 - 3}{-1 - 2} ]
同理，BP的斜率k2可以表示为：
[ k2 = \frac{1 - 3}{-1 - 2} ]
由于点P在直线y=x上，其坐标可以表示为(x, x)。因此，我们可以将AP和BP的斜率之和表示为：
[ k1 + k2 = \frac{x - 3}{x - 2} + \frac{x - 1}{x + 1} ]
2. 解斜率之和方程
根据题目要求，AP和BP的斜率之和为2。因此，我们可以将上述表达式设置为等于2，并解方程：
[ \frac{x - 3}{x - 2} + \frac{x - 1}{x + 1} = 2 ]
为了解这个方程，我们可以先通分，然后化简。下面是具体的计算过程：
[ \frac{(x - 3)(x + 1) + (x - 1)(x - 2)}{(x - 2)(x + 1)} = 2 ]
[ \frac{x^2 - 2x - 3 + x^2 - 3x + 2}{x^2 - x - 2} = 2 ]
[ \frac{2x^2 - 5x - 1}{x^2 - x - 2} = 2 ]
接下来，我们将分母乘到等式左边，并移项：
[ 2x^2 - 5x - 1 = 2(x^2 - x - 2) ]
[ 2x^2 - 5x - 1 = 2x^2 - 2x - 4 ]
[ -5x - 1 = -2x - 4 ]
[ -3x = -3 ]
[ x = 1 ]
3. 验证解
现在我们得到了一个解x=1。为了确保这是正确的解，我们需要将其代入原方程中验证。经过验证，我们可以发现x=1确实是方程的解。
因此，点P的坐标为(1, 1)。
第三部分：总结
在这道题目中，我们通过运用斜率的概念和方程求解技巧，成功地找到了点P的坐标。这道题目考察了学生的代数运算能力和对数学知识的综合运用。在解决这类问题时，关键在于准确理解题意，灵活运用所学知识，并保持清晰的解题思路。