一、选择题解析
题目一：函数的图像与性质
题目：给定函数 ( f(x) = \sin(x) + 2 )，判断以下哪个选项正确？ A. 函数的周期是 ( 2\pi ) B. 函数的振幅是 1 C. 函数在 ( x = 0 ) 处取得最小值 D. 函数在 ( x = \pi ) 处取得最大值
解析： A. 错误，正弦函数的周期是 ( 2\pi )，但整体平移不影响周期。 B. 错误，振幅指的是正弦曲线在中心线以上的最大值，这里是 3。 C. 正确，( f(0) = \sin(0) + 2 = 2 )，是最小值。 D. 错误，( f(\pi) = \sin(\pi) + 2 = 1 )，不是最大值。
二、填空题解析
题目二：数列的求和
题目：数列 ( 1, 3, 5, \ldots ) 的前 ( n ) 项和为 ( S_n )，则 ( S_n ) 的表达式是？
解析： 这是一个等差数列，首项 ( a_1 = 1 )，公差 ( d = 2 )。 等差数列的前 ( n ) 项和公式为 ( S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d] )。 代入数值得 ( S_n = \frac{n}{2} [2 \times 1 + (n - 1) \times 2] = \frac{n}{2} [2 + 2n - 2] = n^2 )。
三、解答题解析
题目三：三角函数的应用
题目：在直角三角形 ( ABC ) 中，( \angle A = 30^\circ )，( \angle B = 90^\circ )，( \angle C = 60^\circ )，( a = 3 )（( a ) 是边 ( BC ) 的长度），求斜边 ( c ) 的长度。
解析： 由正弦定理，(\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} )。 代入已知值，得 (\frac{3}{\sin 30^\circ} = \frac{c}{\sin 60^\circ} )。 (\sin 30^\circ = \frac{1}{2})，(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2})。 所以，( \frac{3}{\frac{1}{2}} = \frac{c}{\frac{\sqrt{3}}{2}} )。 解得 ( c = 3 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} )。
四、压轴题解析
题目四：复数与向量
题目：设复数 ( z = 2 + 3i )，求 ( z ) 的模和 ( z ) 的共轭复数。
解析： 复数 ( z ) 的模 ( |z| ) 由公式 ( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} ) 计算，其中 ( a ) 和 ( b ) 分别是复数 ( z ) 的实部和虚部。 对于 ( z = 2 + 3i )，有 ( |z| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} )。
复数 ( z ) 的共轭复数 ( \bar{z} ) 是将虚部的符号改变，所以 ( \bar{z} = 2 - 3i )。
通过以上解析，我们可以看到，每道题都有其特定的解题思路和方法，这些方法和公式是解决数学问题的基石。在备考过程中，熟练掌握这些公式和技巧是非常重要的。