一、选择题解析
1. 题目描述
（1）若函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)的图象与\(x\)轴有两个不同的交点，则下列结论正确的是：
A. \(a>0\)，\(b^2-4ac>0\)
B. \(a<0\)，\(b^2-4ac>0\)
C. \(a>0\)，\(b^2-4ac<0\)
D. \(a<0\)，\(b^2-4ac<0\)
2. 解题过程
首先，我们知道当函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)的图象与\(x\)轴有两个不同的交点时，该函数的判别式\(\Delta=b^2-4ac\)必须大于0。同时，由于函数与\(x\)轴有两个交点，说明函数在\(x\)轴上方和下方各有一个零点，即函数开口向上或向下。
对于选项A和B，当\(a>0\)时，函数开口向上，有两个不同的实数零点，符合题意；当\(a<0\)时，函数开口向下，有两个不同的实数零点，符合题意。因此，选项A和B都是正确的。
对于选项C和D，当\(a>0\)时，函数开口向上，不可能有两个不同的实数零点；当\(a<0\)时，函数开口向下，不可能有两个不同的实数零点。因此，选项C和D都是错误的。
综上所述，正确答案是A和B。
二、填空题解析
1. 题目描述
（2）已知函数\(f(x)=x^3-3x+1\)，若\(f(x)\)的图像在\(x\)轴上有一个交点，则\(f'(x)\)的零点个数为：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2. 解题过程
首先，我们需要找到函数\(f(x)\)的图像在\(x\)轴上的交点。由于题目中已经告诉我们\(f(x)\)的图像在\(x\)轴上有一个交点，我们可以通过令\(f(x)=0\)来求解。
\[x^3-3x+1=0\]
为了解这个方程，我们可以尝试因式分解：
\[(x-1)(x^2+x-1)=0\]
因此，\(f(x)\)的图像在\(x\)轴上的交点为\(x=1\)。接下来，我们需要求解\(f'(x)\)的零点个数。
\[f'(x)=3x^2-3\]
令\(f'(x)=0\)，得到：
\[3x^2-3=0\]
\[x^2=1\]
\[x=±1\]
因此，\(f'(x)\)的零点个数为2。
综上所述，正确答案是B。
三、解答题解析
1. 题目描述
（3）已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+2x+1\)，求函数\(f(x)\)的极值。
2. 解题过程
为了求解函数\(f(x)\)的极值，我们需要先求出\(f'(x)\)。
\[f'(x)=3x^2-6x+2\]
令\(f'(x)=0\)，得到：
\[3x^2-6x+2=0\]
\[x^2-2x+\frac{2}{3}=0\]
\[x=1±\frac{\sqrt{2}}{3}\]
因此，函数\(f(x)\)的极值点为\(x_1=1-\frac{\sqrt{2}}{3}\)和\(x_2=1+\frac{\sqrt{2}}{3}\)。
接下来，我们需要判断这两个极值点的类型。为此，我们可以求出\(f''(x)\)。
\[f''(x)=6x-6\]
将\(x_1=1-\frac{\sqrt{2}}{3}\)和\(x_2=1+\frac{\sqrt{2}}{3}\)代入\(f''(x)\)，得到：
\[f''(1-\frac{\sqrt{2}}{3})=-\frac{4\sqrt{2}}{3}<0\]
\[f''(1+\frac{\sqrt{2}}{3})=\frac{4\sqrt{2}}{3}>0\]
因此，\(x_1=1-\frac{\sqrt{2}}{3}\)是\(f(x)\)的极大值点，\(x_2=1+\frac{\sqrt{2}}{3}\)是\(f(x)\)的极小值点。
最后，我们计算\(f(x)\)在\(x_1\)和\(x_2\)处的函数值。
\[f(1-\frac{\sqrt{2}}{3})=\frac{4}{3}-\frac{2\sqrt{2}}{3}\]
\[f(1+\frac{\sqrt{2}}{3})=\frac{4}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\]
因此，函数\(f(x)\)的极大值为\(\frac{4}{3}-\frac{2\sqrt{2}}{3}\)，极小值为\(\frac{4}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\)。
综上所述，本题的解析过程如上所述。