一、选择题
**1. 下列各题中，极限存在的是（ **）
A. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)
B. \(\lim_{x \to \infty} (2x + 1)^{-1}\)
C. \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}\)
D. \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}\)
答案：D
解析： 选项A和B中，\(\sin x\)和\(2x + 1\)均以\(x\)为变量，当\(x\)趋近于0或无穷大时，\(\sin x\)和\(2x + 1\)均趋近于0或无穷大，但无法确定极限值。选项C中，\(1 - \cos x\)在\(x\)趋近于0时趋近于0，但分子趋近于0的速度慢于分母趋近于0的速度，因此极限不存在。选项D中，\(\tan x\)在\(x\)趋近于0时趋近于0，且分母\(x\)也趋近于0，根据洛必达法则，\(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sec^2 x}{1} = 1\)，故极限存在。
二、填空题
**2. 函数\(f(x) = x^3 - 3x\)在\(x = 1\)处的导数为______。
答案：0
解析： 根据导数的定义，\(f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)。代入\(f(x) = x^3 - 3x\)，得 $\( f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x + \Delta x)^3 - 3(x + \Delta x) - (x^3 - 3x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{3x^2\Delta x + 3x\Delta x^2 + \Delta x^3 - 3\Delta x}{\Delta x} = 3x^2 - 3 \)\( 代入\)x = 1\(，得\)f’(1) = 0$。
三、解答题
3. 求下列极限：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x^2)}{x} \]
答案：2
解析： 根据洛必达法则，\(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x^2)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}\ln(1 + x^2)}{\frac{d}{dx}x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{1} = 0\)。
注意： 此答案为错误答案，正确答案应为2。正确解析如下：
利用等价无穷小替换，\(\ln(1 + x^2) \approx x^2\)，则 $\( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x^2)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to 0} x = 0 \)\( 但是，由于\)\ln(1 + x^2)\(在\)x \to 0\(时的增长速度小于\)x^2\(，因此极限存在，且等于\)\ln(1 + 0^2)\(的导数值，即\)\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x^2)}{x} = 2$。
四、证明题
4. 证明：若\(f(x)\)在区间\((a, b)\)内可导，且\(f'(x) \neq 0\)，则存在唯一的\(c \in (a, b)\)，使得\(f'(c) = 0\)。
证明： 假设存在两个不同的点\(x_1, x_2 \in (a, b)\)，使得\(f'(x_1) = 0\)和\(f'(x_2) = 0\)。根据拉格朗日中值定理，存在\(\xi_1 \in (x_1, x_2)\)，使得 $\( f'(\xi_1) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \)\( 由于\)f’(x_1) = 0\(和\)f’(x_2) = 0\(，则上式变为\)f’(\xi_1) = 0\(。这与假设\)f’(x) \neq 0\(矛盾，因此不存在两个不同的点\)x_1, x_2 \in (a, b)\(，使得\)f’(x_1) = 0\(和\)f’(x_2) = 0\(。所以存在唯一的\)c \in (a, b)\(，使得\)f’© = 0$。
注意： 此证明过程中使用了拉格朗日中值定理，该定理在微积分中是基本定理之一。