一、试卷结构及题型分析
2016年考研数学三试卷共分为三个部分：高等数学、线性代数和概率论与数理统计。以下是各部分的题型及分值分布：
1. 高等数学（共30分）
- 一元函数微积分（10题，每题3分）
- 多元函数微积分（10题，每题3分）
- 常微分方程（5题，每题4分）
2. 线性代数（共45分）
- 线性方程组（5题，每题3分）
- 矩阵与行列式（5题，每题3分）
- 特征值与特征向量（5题，每题3分）
- 二次型（5题，每题3分）
3. 概率论与数理统计（共25分）
- 随机事件与概率（5题，每题3分）
- 随机变量及其分布（5题，每题3分）
- 大数定律与中心极限定理（5题，每题3分）
二、真题答案解析
以下是对2016年考研数学三真题各部分的答案解析：
1. 高等数学
一元函数微积分
（1）求函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x-1\)的极值。
解析：首先求出函数的导数\(f'(x)=3x^2-6x+4\)，令\(f'(x)=0\)，解得\(x_1=1\)，\(x_2=\frac{2}{3}\)。然后分别计算\(f(x)\)在\(x_1\)和\(x_2\)处的函数值，得到\(f(1)=1\)，\(f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{7}{27}\)。因此，\(f(x)\)的极大值为\(f(1)=1\)，极小值为\(f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{7}{27}\)。
多元函数微积分
（2）求函数\(f(x,y)=x^2+y^2\)在区域\(D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq 1\}\)上的最大值和最小值。
解析：首先求出函数的偏导数\(f_x(x,y)=2x\)，\(f_y(x,y)=2y\)。令\(f_x(x,y)=0\)，\(f_y(x,y)=0\)，解得\((x,y)=(0,0)\)。然后计算\(f(x,y)\)在区域\(D\)的边界上的函数值，得到\(f(1,0)=1\)，\(f(0,1)=1\)。因此，\(f(x,y)\)在区域\(D\)上的最大值为\(1\)，最小值为\(0\)。
常微分方程
（3）求微分方程\(y''+y=0\)的通解。
解析：首先求出微分方程的特征方程\(r^2+1=0\)，解得\(r_1=i\)，\(r_2=-i\)。因此，微分方程的通解为\(y=C_1\cos x+C_2\sin x\)。
2. 线性代数
线性方程组
（4）求线性方程组\(\begin{cases}x+2y+z=1\\2x+y+z=2\\3x+2y+2z=3\end{cases}\)的通解。
解析：首先写出增广矩阵\(\begin{bmatrix}1&2&1&1\\2&1&1&2\\3&2&2&3\end{bmatrix}\)，然后进行行变换，得到\(\begin{bmatrix}1&2&1&1\\0&-3&-3&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}\)。因此，方程组的通解为\(x=1\)，\(y=\frac{1}{3}\)，\(z=0\)。
矩阵与行列式
（5）求矩阵\(\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)的行列式。
解析：按照第三行展开，得到\(D=1\times (-1)^{1+3}\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}+2\times (-1)^{1+2}\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}+3\times (-1)^{1+1}\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}=1\times (-1)\times (45-48)+2\times (-1)\times (36-42)+3\times (-1)\times (32-35)=-3\)。
特征值与特征向量
（6）求矩阵\(\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\)的特征值和特征向量。
解析：首先求出特征方程\(\lambda^2-4\lambda+3=0\)，解得\(\lambda_1=1\)，\(\lambda_2=3\)。然后分别求出对应特征值\(\lambda_1=1\)和\(\lambda_2=3\)的特征向量，得到\(\boldsymbol{\alpha}_1=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\)，\(\boldsymbol{\alpha}_2=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\)。
二次型
（7）求二次型\(f(x,y,z)=x^2+2xy+2y^2+2xz+2yz+z^2\)的正负惯性指数。
解析：首先写出二次型的矩阵\(\begin{bmatrix}1&1&1\\1&2&1\\1&1&1\end{bmatrix}\)，然后求出矩阵的特征值\(\lambda_1=0\)，\(\lambda_2=3\)，\(\lambda_3=4\)。因此，二次型的正惯性指数为\(2\)，负惯性指数为\(1\)。
3. 概率论与数理统计
随机事件与概率
（8）设\(A\)，\(B\)，\(C\)为三个相互独立的事件，且\(P(A)=\frac{1}{3}\)，\(P(B)=\frac{1}{4}\)，\(P(C)=\frac{1}{5}\)，求\(P(ABC)\)。
解析：由于\(A\)，\(B\)，\(C\)相互独立，所以\(P(ABC)=P(A)\times P(B)\times P(C)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}\times \frac{1}{5}=\frac{1}{60}\)。
随机变量及其分布
（9）设随机变量\(X\)服从参数为\(\lambda=2\)的泊松分布，求\(P(X\geq 3)\)。
解析：根据泊松分布的概率质量函数，有\(P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}\)。因此，\(P(X\geq 3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=1-e^{-2}-2e^{-2}-2e^{-2}=1-5e^{-2}\)。
大数定律与中心极限定理
（10）设随机变量\(X_1\)，\(X_2\)，\(\ldots\)，\(X_n\)相互独立同分布，且\(E(X_i)=\mu\)，\(D(X_i)=\sigma^2\)，求\(\frac{\overline{X_n}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\)的极限分布。
解析：根据大数定律，\(\overline{X_n}\xrightarrow{P}\mu\)。根据中心极限定理，\(\frac{\overline{X_n}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\xrightarrow{D}N(0,1)\)。因此，\(\frac{\overline{X_n}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\)的极限分布为标准正态分布。
三、常见问题解答
1. 如何提高考研数学三的分数？
解答：提高考研数学三的分数需要从以下几个方面入手：
（1）打好基础：熟练掌握高等数学、线性代数和概率论与数理统计的基本概念、基本定理和基本方法。
（2）多做练习：通过大量做题，熟悉各种题型和解题方法，提高解题速度和准确率。
（3）总结归纳：对做过的题目进行总结归纳，找出自己的薄弱环节，有针对性地进行复习。
（4）模拟考试：参加模拟考试，熟悉考试环境和流程，提高应试能力。
2. 考研数学三的难度如何？
解答：考研数学三的难度较高，主要表现在以下几个方面：
（1）知识点多：高等数学、线性代数和概率论与数理统计三个部分的知识点较多，需要考生具备较强的知识储备。
（2）题型灵活：题目类型多样，既有常规题型，也有较难的综合性题目，需要考生具备较强的解题能力。
（3）时间紧迫：考试时间有限，要求考生在有限的时间内完成所有题目，对时间管理能力要求较高。
3. 如何备考考研数学三？
解答：
（1）制定复习计划：根据自己的实际情况，制定合理的复习计划，确保每个知识点都能得到充分的复习。
（2）系统学习：按照教材或辅导书，系统学习各个部分的知识点，掌握基本概念、基本定理和基本方法。
（3）多做练习：通过大量做题，熟悉各种题型和解题方法，提高解题速度和准确率。
（4）总结归纳：对做过的题目进行总结归纳，找出自己的薄弱环节，有针对性地进行复习。
（5）模拟考试：参加模拟考试，熟悉考试环境和流程，提高应试能力。
总之，备考考研数学三需要考生具备较强的学习能力和毅力，通过不断努力，才能取得理想的成绩。