一、填空题
1. 设函数 \(f(x) = \sin x + x\)，则 \(f'(0)\) 的值为 ______。
解答： 由导数的定义，我们有： $\( f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin h + h - 0}{h} \)\( 利用三角函数的极限 \)\lim{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1\(，得到： \)$ f’(0) = \lim{h \to 0} \left(\frac{\sin h}{h} + 1\right) = 1 + 1 = 2 $\( 所以 \)f’(0) = 2$。
2. 设矩阵 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，则 \(A^2 - 5A + 6E\) 的值为 ______。
解答： 首先计算 \(A^2\) 和 \(5A\)： $\( A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{bmatrix} \)\( \)\( 5A = 5 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 10 \\ 15 & 20 \end{bmatrix} \)\( 然后计算 \)A^2 - 5A + 6E\(： \)\( A^2 - 5A + 6E = \begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 10 \\ 15 & 20 \end{bmatrix} + 6 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)\( 所以 \)A^2 - 5A + 6E\( 的值为 \)\begin{bmatrix} 2 & 0 \ 0 & 2 \end{bmatrix}$。
二、选择题
1. 设函数 \(f(x)\) 在区间 \([0, +\infty)\) 上连续，且 \(f'(x) = \begin{cases} x^2 & \text{if } x > 0 \\ 0 & \text{if } x = 0 \end{cases}\)，则 \(f(x)\) 在区间 \([0, +\infty)\) 上的最小值为 ______。
解答： 由于 \(f'(x) = x^2\)，可知 \(f(x)\) 在 \(x > 0\) 时单调递增。又因为 \(f(0) = 0\)，所以在区间 \([0, +\infty)\) 上，\(f(x)\) 的最小值为 \(f(0) = 0\)。
2. 设 \(A\) 为 \(3 \times 3\) 的实对称矩阵，且 \(A\) 的特征值为 \(1, 2, 3\)，则 \(A\) 的行列式值为 ______。
解答： 实对称矩阵的行列式等于其特征值的乘积，所以 \(A\) 的行列式值为 \(1 \times 2 \times 3 = 6\)。
三、解答题
1. 设 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1\)，求 \(f'(x)\) 和 \(f''(x)\)。
解答： 首先求 \(f'(x)\)： $\( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 4x - 1) = 3x^2 - 6x + 4 \)\( 然后求 \)f”(x)\(： \)\( f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x + 4) = 6x - 6 \)\( 所以 \)f’(x) = 3x^2 - 6x + 4\(，\)f”(x) = 6x - 6$。
2. 设 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，\(B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}\)，求 \(AB\)。
解答： 计算 \(AB\)： $\( AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 6 & 9 \end{bmatrix} \)\( 所以 \)AB = \begin{bmatrix} 4 & 3 \ 6 & 9 \end{bmatrix}$。