一、选择题部分
1. 题目解析
题目：设函数\(f(x) = x^3 - 3x\)，则\(f'(x)\)的零点为：
选项： A. \(x = 0\) B. \(x = -1\) C. \(x = 1\) D. \(x = \sqrt{3}\)
答案解析： 首先，对函数\(f(x) = x^3 - 3x\)求导得到\(f'(x) = 3x^2 - 3\)。令\(f'(x) = 0\)，解得\(x = \pm 1\)。因此，正确答案是C. \(x = 1\)。
2. 题目解析
题目：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n = 2^n - 1\)，则\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\)的值为：
选项： A. 2 B. 1⁄2 C. 3 D. 1⁄3
答案解析： 将通项公式代入，得到\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1} - 1}{2^n - 1}\)。通过化简，可以得到\(\lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 2^n - 1}{2^n - 1} = 2\)。因此，正确答案是A. 2。
二、填空题部分
1. 题目解析
题目：若\(f(x) = x^2 - 4x + 5\)，则\(f'(2)\)的值为：
答案解析： 首先对\(f(x) = x^2 - 4x + 5\)求导得到\(f'(x) = 2x - 4\)。将\(x = 2\)代入，得到\(f'(2) = 2 \cdot 2 - 4 = 0\)。
2. 题目解析
题目：已知函数\(f(x) = e^x \sin x\)，则\(f'(0)\)的值为：
答案解析： 对\(f(x) = e^x \sin x\)求导，使用乘积法则，得到\(f'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x\)。将\(x = 0\)代入，得到\(f'(0) = e^0 \sin 0 + e^0 \cos 0 = 1\)。
三、解答题部分
1. 题目解析
题目：设\(f(x) = \ln(x^2 + 1)\)，求\(f'(x)\)。
答案解析： 首先，将\(f(x)\)写成复合函数的形式：\(f(x) = \ln(u)\)，其中\(u = x^2 + 1\)。对\(u\)求导得到\(u' = 2x\)。根据链式法则，\(f'(x) = \frac{1}{u} \cdot u' = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}\)。
2. 题目解析
题目：设函数\(f(x) = \frac{1}{x} - \ln x\)，求\(f'(x)\)，并求\(f(x)\)的单调区间。
答案解析： 对\(f(x) = \frac{1}{x} - \ln x\)求导，得到\(f'(x) = -\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} = -\frac{1 + x}{x^2}\)。令\(f'(x) = 0\)，解得\(x = -1\)。由于分母\(x^2\)总是正的，\(f'(x)\)的符号取决于分子\(-1 - x\)。当\(x < -1\)时，\(f'(x) > 0\)，函数在\((-\infty, -1)\)上单调递增；当\(x > -1\)时，\(f'(x) < 0\)，函数在\((-1, +\infty)\)上单调递减。
以上是2015年数学二真题的选择题、填空题和解答题的详细答案解析。通过这些解析，希望能帮助读者更好地理解和掌握相关的数学知识点。