一、概述
2015年的考研数学二试卷涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计三个部分，考察了考生的数学基础知识和综合运用能力。本解析将详细解析每道题目，并提供详细的答案。
二、高等数学部分解析与答案
1. 题目解析
(1) 一元函数微分学
题目：求函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\)在\(x=2\)处的导数。
解析：利用导数的定义和公式进行计算。
(2) 一元函数积分学
题目：计算定积分\(\int_0^2 (x^3 - 3x^2 + 4) \, dx\)。
解析：直接利用积分公式进行计算。
2. 答案
(1) 一元函数微分学
\(f'(2) = (2^3 - 3 \times 2^2 + 4)' = 3 \times 2^2 - 2 \times 3 \times 2 = 4\)
(2) 一元函数积分学
\(\int_0^2 (x^3 - 3x^2 + 4) \, dx = \left[\frac{1}{4}x^4 - x^3 + 4x\right]_0^2 = \frac{1}{4} \times 2^4 - 2^3 + 4 \times 2 = 4\)
三、线性代数部分解析与答案
1. 题目解析
(1) 矩阵运算
题目：设矩阵\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，求矩阵\(A^2\)。
解析：利用矩阵乘法公式进行计算。
(2) 线性方程组
题目：解线性方程组\(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \end{bmatrix}\)。
解析：利用矩阵运算求解线性方程组。
2. 答案
(1) 矩阵运算
\(A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{bmatrix}\)
(2) 线性方程组
\(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\)
四、概率论与数理统计部分解析与答案
1. 题目解析
(1) 随机变量及其分布
题目：已知随机变量\(X\)服从正态分布\(N(2, 1)\)，求\(P(X > 3)\)。
解析：利用正态分布的性质进行计算。
(2) 参数估计
题目：从一批产品中抽取10个，发现其中有3个不合格品，求不合格品率\(\theta\)的置信度为\(95\%\)的置信区间。
解析：利用正态分布和置信区间的性质进行计算。
2. 答案
(1) 随机变量及其分布
\(P(X > 3) = 1 - P(X \leq 3) = 1 - \Phi\left(\frac{3 - 2}{1}\right) = 1 - \Phi(1) = 0.1587\)
(2) 参数估计
\(\theta = \frac{3}{10} = 0.3\)，\(\sigma = \sqrt{\frac{\theta(1-\theta)}{10}} = 0.1645\)，\(z_{\alpha/2} = 1.96\)。
\(\text{置信区间} = \left[0.3 - 1.96 \times 0.1645, 0.3 + 1.96 \times 0.1645\right] = [0.014, 0.486]\)