一、考试概述
2011年的考研数学二考试旨在考查考生对高等数学、线性代数和概率论与数理统计的掌握程度。试卷分为选择题、填空题和解答题三部分，全面考察了考生对基础知识的理解、计算能力和应用能力。
二、选择题详解
1. 高等数学
题目：求函数 \(f(x) = e^{x^2} \sin x\) 的二阶导数。
解答： $\( f'(x) = e^{x^2} \sin x + 2x e^{x^2} \cos x \)\( \)\( f''(x) = e^{x^2} (\sin x + 4x \cos x - 2x^2 \sin x) \)$
2. 线性代数
题目：设矩阵 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，求矩阵 \(A\) 的特征值和特征向量。
解答： 特征方程为 \(\det(A - \lambda I) = 0\)，即 $\( \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 4-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda) - 6 = 0 \)\( 解得 \)\lambda_1 = 2, \lambda_2 = -2$。
对于 \(\lambda_1 = 2\)，解方程组 \((A - 2I)x = 0\)，得到特征向量 \(x_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}\)。
对于 \(\lambda_2 = -2\)，解方程组 \((A + 2I)x = 0\)，得到特征向量 \(x_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\)。
3. 概率论与数理统计
题目：设随机变量 \(X\) 服从标准正态分布，求 \(P(X > 0)\)。
解答： $\( P(X > 0) = 1 - P(X \leq 0) = 1 - \Phi(0) = 0.5 \)\( 其中 \)\Phi$ 为标准正态分布的累积分布函数。
三、填空题详解
1. 高等数学
题目：若 \(f(x) = \ln(x+1)\)，则 \(f'(x) = \frac{1}{x+1}\)。
解答： 根据链式法则，\(f'(x) = \frac{1}{x+1} \cdot \frac{d}{dx}(x+1) = \frac{1}{x+1}\)。
2. 线性代数
题目：设矩阵 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，则 \(A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\)。
解答： 矩阵的转置定义为将矩阵的行变成列，因此 \(A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\)。
3. 概率论与数理统计
题目：设随机变量 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的泊松分布，则 \(E(X) = \lambda\)。
解答： 泊松分布的期望值公式为 \(E(X) = \lambda\)，因此题目所述正确。
四、解答题详解
1. 高等数学
题目：求函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1\) 的极值。
解答： 求导得 \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 4\)，令 \(f'(x) = 0\)，解得 \(x_1 = 1, x_2 = \frac{2}{3}\)。
再求二阶导数 \(f''(x) = 6x - 6\)，代入 \(x_1\) 和 \(x_2\)，得 \(f''(1) = 0, f''(\frac{2}{3}) = -2\)。
因此，\(x = 1\) 为拐点，\(x = \frac{2}{3}\) 为极大值点，极大值为 \(f(\frac{2}{3}) = \frac{1}{27}\)。
2. 线性代数
题目：设 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，\(B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}\)，求 \(A + B\) 和 \(AB\)。
解答： $\( A + B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \)\( \)\( AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix} \)$
3. 概率论与数理统计
题目：设随机变量 \(X\) 服从参数为 \(\lambda = 1\) 的指数分布，求 \(P(0 < X < 2)\)。
解答： 指数分布的概率密度函数为 \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\)，因此 $\( P(0 < X < 2) = \int_0^2 \lambda e^{-\lambda x} dx = 1 - e^{-2\lambda} = 1 - e^{-2} \)$
通过以上详解，可以清晰地看到2011年考研数学二真题的解题思路和方法，希望对考生有所帮助。