一、选择题
题目1：若函数 ( f(x) = x^3 - 3x + 2 ) 在 ( x = 1 ) 处取得极值，则此极值是（ ）
解析： 首先求函数的一阶导数 ( f’(x) = 3x^2 - 3 )。令 ( f’(x) = 0 )，得 ( x^2 - 1 = 0 )，解得 ( x = \pm 1 )。由于 ( f”(x) = 6x )，当 ( x = 1 ) 时，( f”(1) = 6 > 0 )，说明 ( x = 1 ) 是极小值点。将 ( x = 1 ) 代入原函数，得 ( f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 2 = 0 )。因此，正确答案是 A。
二、填空题
题目2：若 ( \lim{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = 3 )，则 ( \lim{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} ) 的值为（ ）
解析： 利用三角函数的极限性质，我们知道 ( \lim{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 )。因此，( \lim{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = 3 ) 可以转化为 ( \lim{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 = 3 )。由此，( \lim{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1 )。同理，( \lim{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} = \lim{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} \cdot 5 = 5 )。因此，正确答案是 5。
三、解答题
题目3：证明：若 ( a, b, c ) 是等差数列的三个项，且 ( a + b + c = 0 )，则 ( abc ) 是等比数列的项。
解析： 设等差数列的公差为 ( d )，则 ( b = a + d )，( c = a + 2d )。由 ( a + b + c = 0 ) 得 ( 3a + 3d = 0 )，即 ( a + d = 0 )。因此，( b = -a )，( c = -a - d = -2a )。所以 ( abc = a \cdot (-a) \cdot (-2a) = 2a^3 )。因为 ( a^3 ) 是 ( a ) 的三次方，所以 ( abc ) 是等比数列的项。
题目4：计算 ( \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx )。
解析： 使用分部积分法，令 ( u = x )，( dv = \sin x \, dx )，则 ( du = dx )，( v = -\cos x )。因此，( \int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x )。将积分上下限代入，得 ( \left[ -x \cos x + \sin x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{\pi}{2} \cdot 0 + 1 - (0 \cdot 1 + 0) = 1 )。所以，( \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx = 1 )。
题目5：求函数 ( f(x) = e^{x^2} ) 在区间 ( [0, 1] ) 上的最大值和最小值。
解析： 求导得 ( f’(x) = 2xe^{x^2} )。令 ( f’(x) = 0 )，得 ( x = 0 )。在 ( x = 0 ) 处，( f(0) = e^{0^2} = 1 )。检查 ( x = 1 ) 时的函数值，得 ( f(1) = e^{1^2} = e )。因为 ( e > 1 )，所以函数在 ( [0, 1] ) 上的最大值是 ( e )，最小值是 1。
以上是2010年数学二真题的详细答案解析，希望对学习和复习有所帮助。