引言
微积分作为数学中的重要分支，不仅广泛应用于自然科学、工程技术等领域，也是培养逻辑思维和解决问题能力的重要工具。本文将针对2007年的一些经典微积分题目进行解析，旨在帮助读者深入理解微积分的基本概念和解题技巧。
题目一：极限的计算
题目描述：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
解题思路：
- 定义法：根据极限的定义，我们需要证明对于任意给定的正数 \(\epsilon\)，存在一个正数 \(\delta\)，使得当 \(0 < |x - 0| < \delta\) 时，有 \(\left|\frac{\sin x}{x} - 1\right| < \epsilon\)。
- 三角函数性质：利用 \(\sin x\) 在 \(x\) 接近 \(0\) 时的近似值 \(\sin x \approx x\)。
详细解答：
设 $\epsilon > 0$，取 $\delta = \epsilon$。当 $0 < |x - 0| < \delta$，即 $0 < |x| < \epsilon$ 时，有
$$
\left|\frac{\sin x}{x} - 1\right| = \left|\frac{x - \sin x}{x}\right| \leq \frac{|x|}{|x|} = 1 < \epsilon。
$$
因此，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。
题目二：导数的应用
题目描述：求函数 \(f(x) = x^3 - 3x + 2\) 在 \(x = 1\) 处的切线方程。
解题思路：
- 求导数：首先求出函数 \(f(x)\) 的导数 \(f'(x)\)。
- 计算斜率：然后计算 \(x = 1\) 处的导数值，得到切线的斜率。
- 求切线方程：利用点斜式方程求出切线方程。
详细解答：
函数 $f(x) = x^3 - 3x + 2$ 的导数为 $f'(x) = 3x^2 - 3$。在 $x = 1$ 处，$f'(1) = 3 \times 1^2 - 3 = 0$，切线斜率为 $0$。
又因为 $f(1) = 1^3 - 3 \times 1 + 2 = 0$，所以切点为 $(1, 0)$。
切线方程为 $y - 0 = 0 \cdot (x - 1)$，即 $y = 0$。
题目三：不定积分的计算
题目描述：计算不定积分 \(\int x^3 e^x dx\)。
解题思路：
- 分部积分法：利用分部积分法，将 \(x^3 e^x\) 分解为 \(u\) 和 \(dv\)，其中 \(u = x^3\)，\(dv = e^x dx\)。
- 求导和积分：分别求出 \(u\) 和 \(dv\) 的导数和积分。
详细解答：
令 $u = x^3$，则 $du = 3x^2 dx$；令 $dv = e^x dx$，则 $v = e^x$。
根据分部积分法，有
$$
\int x^3 e^x dx = x^3 e^x - \int 3x^2 e^x dx。
$$
再次应用分部积分法，得到
$$
\int x^3 e^x dx = x^3 e^x - 3x^2 e^x + 6x e^x - 6 \int e^x dx = x^3 e^x - 3x^2 e^x + 6x e^x - 6e^x + C，
$$
其中 $C$ 为积分常数。
总结
通过对2007年微积分经典题目的解析，我们可以看到微积分在解决问题中的应用是多方面的。掌握微积分的基本概念和解题技巧对于深入理解数学理论以及解决实际问题具有重要意义。