一、选择题
题目1
题目内容：已知函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\)，求 \(f'(x)\)。
答案：\(f'(x) = 3x^2 - 6x\)。
解析：根据导数的基本运算法则，对 \(x^3\) 求导得到 \(3x^2\)，对 \(-3x^2\) 求导得到 \(-6x\)，对常数项 \(4\) 求导得到 \(0\)。因此，\(f'(x) = 3x^2 - 6x\)。
题目2
题目内容：若 \(lim_{x \to 0} \frac{sinx}{x} = 1\)，则下列等式中正确的是：
A. \(lim_{x \to 0} \frac{sin2x}{2x} = 1\)
B. \(lim_{x \to 0} \frac{sinx}{x^2} = 1\)
C. \(lim_{x \to 0} \frac{sin2x}{x} = 2\)
D. \(lim_{x \to 0} \frac{sinx}{x} = 0\)
答案：C
解析：根据等价无穷小的性质，当 \(x \to 0\) 时，\(sinx \sim x\)，所以 \(sin2x \sim 2x\)。因此，\(lim_{x \to 0} \frac{sin2x}{x} = lim_{x \to 0} \frac{2x}{x} = 2\)。
二、填空题
题目1
题目内容：若 \(lim_{x \to 0} \frac{cosx - 1}{x} = ?\)
答案：\(\frac{1}{2}\)
解析：使用泰勒公式展开 \(cosx\)，得 \(cosx = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\)。因此，\(cosx - 1 = -\frac{x^2}{2} + o(x^2)\)。代入极限表达式中，得 \(lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x} = -\frac{1}{2} + lim_{x \to 0} \frac{o(x^2)}{x} = -\frac{1}{2}\)。
题目2
题目内容：若 \(lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2 + 1} = ?\)
答案：\(0\)
解析：由于 \(x^2 + 1\) 随着 \(x\) 的增大而增大，分母趋于无穷大，因此整个分数趋于 \(0\)。
三、解答题
题目1
题目内容：求函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\) 的单调区间。
答案：函数 \(f(x)\) 在 \((-\infty, 1)\) 和 \((2, +\infty)\) 上单调递增，在 \((1, 2)\) 上单调递减。
解析：首先求出函数的导数 \(f'(x) = 3x^2 - 6x\)。令 \(f'(x) = 0\)，解得 \(x = 0\) 和 \(x = 2\)。对 \(x\) 的值进行分类讨论，确定单调区间。
题目2
题目内容：已知函数 \(f(x) = e^x - x\)，求 \(f(x)\) 的极值。
答案：\(f(x)\) 的极大值为 \(e^0 - 0 = 1\)，无极小值。
解析：首先求出函数的导数 \(f'(x) = e^x - 1\)。令 \(f'(x) = 0\)，解得 \(x = 0\)。对 \(x\) 的值进行分类讨论，确定极值。
以上是对2005年数二真题的选择题、填空题和解答题的详细答案及解析。通过这些解析，希望能帮助你在解题时更好地掌握解题技巧。