- 要计算 ( A^2 )，我们需要将矩阵 ( A ) 与自身相乘。对于 ( 2 \times 2 ) 的方阵，我们有：
[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} ]
[ A^2 = A \times A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 \ 3 \cdot 1 + 4 \cdot 3 & 3 \cdot 2 + 4 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 10 \ 15 & 22 \end{pmatrix} ]
所以，( A^2 = \begin{pmatrix} 7 & 10 \ 15 & 22 \end{pmatrix} )。
- 对于 ( 3 \times 3 ) 的方阵 ( B )，我们同样需要将矩阵 ( B ) 与自身相乘三次来得到 ( B^3 )：
[ B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \ 0 & 2 & 1 \ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} ]
首先计算 ( B^2 )：
[ B^2 = B \times B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \ 0 & 2 & 1 \ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \ 0 & 2 & 1 \ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 \ 2 & 4 & 3 \ 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} ]
然后计算 ( B^3 )：
[ B^3 = B^2 \times B = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 \ 2 & 4 & 3 \ 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \ 0 & 2 & 1 \ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 9 & 8 \ 8 & 12 & 9 \ 9 & 8 & 12 \end{pmatrix} ]
所以，( B^3 = \begin{pmatrix} 12 & 9 & 8 \ 8 & 12 & 9 \ 9 & 8 & 12 \end{pmatrix} )。
- 对于 ( 4 \times 4 ) 的单位矩阵 ( C )，任意次幂 ( C^n ) 仍然是单位矩阵，因为单位矩阵的任何次幂都是单位矩阵：
[ C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ]
[ C^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ]
- 对于 ( 5 \times 5 ) 的方阵 ( D )，我们注意到这是一个置换矩阵，其中每一行的元素都是前一个元素的逆序，除了最后一行。对于 ( D^5 )，我们首先计算 ( D^2 )，( D^3 )，( D^4 )，然后观察规律：
[ D = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ]
[ D^2 = D \times D = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ]
[ D^3 = D^2 \times D = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ]
[ D^4 = D^3 \times D = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ]
[ D^5 = D^4 \times D = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ]
所以，( D^5 ) 是一个所有元素除了最后一行第一个元素为1之外，其余都为0的矩阵。
- 对于 ( 6 \times 6 ) 的方阵 ( E )，我们可以看到这是一个所有元素都相同的矩阵。计算 ( E^2 ) 和 ( E^3 )：
[ E = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} ]
[ E^2 = E \times E = \begin{pmatrix} 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 \ 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 \ 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 \ 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 \ 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 \ 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 \end{pmatrix} ]
[ E^3 = E^2 \times E = \begin{pmatrix} 36 & 36 & 36 & 36 & 36 & 36 \ 36 & 36 & 36 & 36 & 36 & 36 \ 36 & 36 & 36 & 36 & 36 & 36 \ 36 & 36 & 36 & 36 & 36 & 36 \ 36 & 36 & 36 & 36 & 36 & 36 \ 36 & 36 & 36 & 36 & 36 & 36 \end{pmatrix} ]
所以，( E^2 = \begin{pmatrix} 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 \ 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 \ 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 \ 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 \ 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 \ 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 \end{pmatrix} ) 和 ( E^3 = \begin{pmatrix} 36 & 36 & 36 & 36 & 36 & 36 \ 36 & 36 & 36 & 36 & 36 & 36 \ 36 & 36 & 36 & 36 & 36 & 36 \ 36 & 36 & 36 & 36 & 36 & 36 \ 36 & 36 & 36 & 36 & 36 & 36 \ 36 & 36 & 36 & 36 & 36 & 36 \end{pmatrix} )。